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DIMENSIONI ARROTOLATE: come le vedrebbe un abitante piccolo tanto da percepirle? come le (NON) vediamo noi?

Abbiamo accennato a dimensioni arrotolate che scompaiono all’osservazione perchè troppo piccole per apprezzarne le piccole variazioni, ma, immaginiamo di nuovo il tubo del giardino con una dimensione arrotolata e una che si stende indefinitamente. Quindi immaginiamo una cimice che vive sulla sua superficie senza conoscerne l’interno: l’insetto può muoversi sulla superficie senza staccarsi in solo due direzioni, di cui una comporterebbe, a breve, il suo ritorno al punto di partenza.

Le cimici appartenenti a una popolazione che avesse fissato dimora sul tubo, qualora fossero soggette alle azioni di certe forze, come le forze di attrazione o repulsione elettrica e la forza di gravità, potrebbero essere attratte o respinte in qualsiasi direzione lungo la superficie del tubo. Potrebbero essere allontanate l’una dall’altra o nel verso della lunghezza del tubo o attorno alla sua circonferenza. Purché si abbia una risoluzione sufficiente per distinguere distanze così piccole come il diametro del tubo, le forze e gli oggetti possono essere descritti nei termini delle dimensioni che effettivamente li caratterizzano.

Tuttavia, una cimice che riuscisse a osservare il tubo con tutto ciò che lo attornia, ammetterebbe che le due dimensioni sono molto differenti. Quella nel verso della lunghezza del tubo sarebbe molto grande, prolungandosi all’infinito, mentre l’altra, invece, risulterebbe molto piccola. Nella direzione circolare, intorno al tubo, le cimici non si allontanerebbero mai granché l’una dall’altra, mentre se volesse intraprendere un lungo viaggio, una cimice saggia si muoverebbe lungo l’altra dimensione.

Ma la prospettiva della cimice, che osserva dall’esterno l’universo-tubo, non è la stessa in cui ci troveremo noi nell’universo di Klein: quelle in cui è dimensione extra è arrotolata, sviluppandosi per un tratto estremamente piccolo 10^-33 cm.

A differenza della cimice, non siamo piccoli abbastanza per rilevare una dimensione così minuscola, men che meno per poterla percorrere.

Quindi, per completare l’analogia, supponiamo che nell’universo- tubo viva un essere molto più grande di una cimice, dotato di una risoluzione molto più grossolana e incapace, pertanto, di discernere oggetti o strutture piccole. Quest’essere dispone di una lente che non è sufficiente per mettere a fuoco dettagli piccoli come il diametro del tubo, perciò dal suo punto di vista le dimensioni extra sarebbero invisibili: vedrebbe soltanto una dimensione. Potrebbe accorgersi che l’universo tubo ha più di una dimensione solo che avesse una visione sufficientemente acuta da poter registrare qualcosa di così piccolo come il diametro del tubo. Se invece la visione di questo abitante dell’universo- tubo è troppo debole perché possa percepire tale diametro, tutto quel che vede è solo una linea.

Infatti, gli abitatori dell’universo- tubo, se di dimensioni superiori, riempirebbero l’intera seconda dimensione, quella piccola, e non verrebbero mai a sapere dell’esistenza di questa dimensione. Qualsiasi variazione lungo la seconda dimensione sarebbe completamente cancellata, proprio come passerebbe inosservata, per i nostri sensi, una variazione infinitesimale dello spessore di un foglio di carta, una deviazione, diciamo, dell’ordine di grandezza della sua struttura atomica.

Le dimensioni extra arrotolate, o compatte, non verranno mai alla luce se sono abbastanza piccole.

Nella vita, anche in fisica, registriamo solo i particolari che ci interessano. Se non riusciamo a osservare una struttura nei suoi dettagli possiamo anche far finta che non ci siano. Anche se la dimensione arrotolata non è lontana, tuttavia è così piccola che qualsiasi sua variazione è impercettibile. Le dimensioni extra estremamente piccole non cambiano nulla nel nostro modo di vedere il mondo, o anche nel modo in cui facciamo la maggior parte dei calcoli in fisica.